ลองนึกภาพว่า ถ้าคุณสามารถเคลื่อนที่ไปมาได้แค่บนเส้นเชือกเส้นเดียว นั่นคือโลกของแกนจำนวนจริง หากคุณอยากกระโดดขึ้นไปข้างบน เส้นเชือกก็ไม่สามารถรองรับคุณได้ การนำเข้าจำนวนเชิงซ้อนก็เหมือนการเพิ่มมิติใหม่ให้กับโลกของคุณ จำนวนเชิงซ้อนแต่ละตัวที่อยู่ในรูปแบบ $z = a + bi$ ไม่ใช่แค่จุดบนเส้นจำนวนอีกต่อไป แต่กลายเป็นพิกัด $(a, b)$ บนระนาบ หรือเวกเตอร์ที่เริ่มจากจุดกำเนิด ความสัมพันธ์ระหว่าง 'ตัวเลข' กับ 'รูปร่าง' ที่สมบูรณ์แบบนี้ ถือเป็นการก้าวสำคัญที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์
นิยามเชิงพีชคณิตและการแสดงผลทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน
ในหนังสือเรียนภาคเรียนที่ 2 ที่จำเป็น เราได้เรียนเรื่องระบบจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพประกอบกัน โดยรูปแบบมาตรฐานทางพีชคณิตคือ $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$)
เพื่อให้เข้าใจจำนวนเชิงซ้อนได้อย่างชัดเจน เราได้สร้างระนาบเชิงซ้อนโดยที่:
- แกนจริง: ตรงกับแกน x แสดงส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน
- แกนจินตภาพ: ตรงกับแกน y แสดงส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน
- จุดกับจำนวนเชิงซ้อน: จำนวนเชิงซ้อน $z = a + bi$ และจุด $Z(a, b)$ สร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง
- เวกเตอร์กับจำนวนเชิงซ้อน: จำนวนเชิงซ้อน $z = a + bi$ และเวกเตอร์ระนาบ $\vec{OZ}$ สร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง
โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ มีความหมายเชิงเรขาคณิตคือระยะทางจากจุด $Z$ ในระนาบเชิงซ้อนไปยังจุดกำเนิด และ $|z_1 - z_2|$ คือระยะทางระหว่างจุดสองจุด
$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$